摘要：近年来，已几乎被淘汰的“极坐标法”又重新成功地用于在齿轮测量中心
和成型齿轮磨床上测量渐开线齿廓。
本文认为，借助用球规精确校准3D(或2.5D)测头的测针位置；用“测头扫
描”技术控制测量运动；以测头预偏位来抵消测针球心偏置和专门的数据
采集方式等技术手段使测量的精度、效率和方便性得到了新的提高。
关键词：极坐标法、3D扫描测头、测头扫描控制、数据采集

Measuring Involute Profile by “Polar coordinate system” on Gear Measuring Center
Jing TingDu
Abstract:  Recently, Polar coordinate system is successfully used to measure involute profile on Gear measuring center and Gear form grinding machine.
In this article, the author’s opinion is that, some technology means can guarantee and improve the measuring accuracy, efficiency, and convenience, such as calibrating the 3D (or 2.5D) probe accurately by means of ball gauge, using “probe scanning” technology to control measuring movement, using “probe pre-offset” to compensate stylus ball center’s offset, specialized data gathering method etc.
Keywords: Polar coordinate system, 3D scanning probe, Probe’s scanning control, Data gathering.

1. 背景 长久以来，人们都是在法线极坐标法上采用机械展成或数控联动(所谓的“电子展成”)来测量渐开线圆柱齿轮的齿廓误差。然而，在上世纪八十年代初，德国霍夫勒公司的ZP系列三轴齿轮测量中心(图1)率先成功地在极坐标上测量渐开线齿廓，并投入批量生产。不久，克林贝格公司的PEC33型三轴齿轮测量中心问世。随后，日本和捷克也相继推出了在极坐标上测量渐开线齿廓的齿轮量仪产品。但是不久，这些产品都因精度不易保证，价格降低不多和难以测量有些复杂零件而被淘汰出局。
然而随着3D测头技术、数字控制技术和软件处理技术的发展提高，极坐标法的一些不足已被克服，而其优点（主机结构紧凑和测量效率高）则受到重视。近年来在一些大型齿轮测量中心和齿轮磨床中，极坐标法又重新成功地用来测量渐开线齿廓。
 
图1
2. 上述技术手段应用的具体措施
2.1  采用3D测头，借助球规来精确校准测针
相对于法线极坐标法，极坐标法要求测球中心在X轴(切向)上和Y轴(径向)上的定位都要更加精确稳定(文献1)。目前绝大多数采用杠杆式模拟测头的国产齿轮测量中心都无法满足这一要求。而国外的齿轮测量中心已全部采用3D测头，再借助球规作精确校准测球中心位置，都能达到要求。目前，克林贝格公司的K3D测头和哈尔滨智达公司的3D(或2.5D)数字测头由于采用数字传感器读数和各轴都能精确锁紧或松开工作，在精度和稳定性方面更为突出。
近代的各种3D测头都配备能精确重复定位的可换测针盘，在测量中心上借助球规精确校准测球中心位置后，该测针的有关数据即存入该测量中心的测针管理系统，当换下再重新安装该测针时，只要调出其校准数据即可进行测量，不必重新校准，十分方便。当然，根据情况，还需要定期重新校准。
在测量大型齿轮时，往往需要在不卸下工件的状态下校准测针，此时就必须具备球规安置在任意位置上都能校准测针的功能。
2.2  用测头扫描技术来控制C-Y二轴联动
极坐标法需要测球与被测齿轮在C轴(主轴旋转轴)和Y轴(径向轴)之间按渐开线极坐标方程式作非线性插补的联动，而现有C-Y二轴联动控制方式有以下几种:
a. 硬测头法：
         刚性固定在径向滑板上的测针沿Y轴向右移动，齿轮以恒转矩将被测齿面紧靠在测针球面上，使齿轮因测针移动而旋转。由齿轮实际转角与理论转角之差可求得其齿廓偏差。本方法精度及重复性较差，也无法用于大齿轮测量，目前仅一家捷克公司采用此方法，现已淘汰。
b. 触发测头法
与上述“硬测头法”相似，但把硬测头改为触发测头，精度有所提高，但限于触发式采样方式，测量采样点太少，如大量增加采样点又会急剧降低测量效率，因此无法在测量中心上采用。目前主要在齿轮磨床在机测量齿廓时采用此法。
c. 近似替代法
前几年，国内有的企业和院校的科研人员，在一些简易数控的条件下，用圆弧插补或分段直线插补以近似替代渐开线插补的方法，以极坐标法测量齿廓，由于插补误差较大，使测球中心也不断变化地偏离X轴，由此造成的二次误差难以再做补差，最终结果都不能令人满意。
d. 渐开线插补法
近年来，许多进口CNC控制卡和控制器已具备高精度全闭环的任意曲线插补的多轴联动功能，可借助此功能使测针球沿Y轴的移动与齿轮绕C轴的旋转在极坐标上作精确的渐开线插补联动，测量中测头的量值和联动中的插补误差经处理后即可求得非常精确的齿廓偏差。
本文作者曾在十年前主持研制了一套采用本方法的测量装置，用在某大型国企的一台进口3.5米齿轮磨床上，成功地对某些船用大齿轮作在机测量并通过验收鉴定，有关论文已在近年齿轮学会的学术研讨会上发表。
由于在测量过程中测针球心偏离Y轴线相对于近似替代法小很多（主要为齿廓偏差造成的偏离），由此产生的测量误差几乎可以忽略，因此本方法完全可以用于大型齿轮测量中心。
e. 测头扫描法
有些进口的CNC控制器还具备由测头精确控制相关坐标轴运动的功能，即所谓“测头连续扫描控制”。在极坐标上测量齿廓时，随测球中心沿Y轴离开齿轮轴线向外移动而产生测头的量值变化控制齿轮绕C轴旋转而使测头的量值保持不变，这样的结果是测针球中心始终没有偏离Y轴（或仅有极微小的扫描插补误差）。这是一种较为理想的运动控制方式，已在霍夫勒、蔡司和克林贝格等公司的齿轮测量中心上得到应用，哈尔滨智达公司的产品同样也能实现这种功能。
综上所述，本作者推荐采用“测头扫描法”来作极坐标法测量齿廓的运动控制方式。但是有一个前提是必须采用较为高端的多轴(最好是八轴)CNC控制器或控制卡来作精确的测头扫描控制。否则，若指望通过一些简易数控装置来满足精度和稳定性要求，那是不可能的。
2.3  借助主机“予偏位”来抵消测头的“予压量”，回避“广义极坐标法”
除了蔡司公司以外，现有的国内外齿轮测量中心的测头(包括3D测头)都必须通过测头的予压来改变测力方向和大小，因此在用极坐标法测量齿廓时，必须借助主机在X轴方向的“予偏位”来抵消测头的在X轴方向的“予压量”，使测球中心在测量左右不同齿面时都能精确地在X＝0(齿轮的切向零位)的Y轴线上运动，这样做可以避免在 的Y轴上测量时采用“广义极坐标法”(文献2)带来的计算复杂化而引起的误差和不便。在国内外所有的四轴齿轮测量中心上，这一技术措施是非常容易做到的。
2.4  应用专门的数据采集方式来作误差处理评值
在齿轮测量中心上用传统的法线极坐标测量齿廓偏差时，通常是在X轴(切向)坐标的展开长度(即渐开线曲率半径 )上以等间距(通常为0.01mm至0.1mm范围内)作位置采样。各采样点采集到的测头量值和数控联动的插补误差值二组数据流经接口传输到上位计算机进行处理和评值而得到最终测量结果，原理图如图2所示。
 
而在极坐标法测量齿廓时，若已知在展开长度上各等间隔的采样位置数列为：
 = ………… ………… ------------①
    式①中：  由起始测量点至终止测量点的展开长度数列
              起始测量点的展开长度
              任意测量点的展开长度
             终止测量点的展开长度
对应于上述各测量点的测针球中心在Y轴上的各坐标位置按下式② 计算：
 --------------------②
式②中：    任意测量点的测针球中心在y轴上位置
        测头当量半径( =测头半径 )
以式②将式①的 转换成不等距的在y轴上的采样位置数列： = ………… ………… -----------③
           与此相对应的齿轮理论转角应按下式④计算：
 --------④
  由上式④可求得与 数列相对应的齿轮理论转角数列为：
           = ………… ………… -----------⑤
     这样，就可按位置采样方式，在测针球心到达y轴上数列 中各采样点位置时，实时对齿轮实际转角值和测头的量值进行数据采集。采集到的数据还要如下处理：
  设对应于 采样点数列的齿轮实际转角数列为 ，则由此造成的齿廓偏差数列为: 
   而对应于 采样点数列的测头量值变差数列为 ，则由此造成的齿廓偏差数列为：
   由此得各采样点上齿廓偏差数列 为：
      = -
    有了 这个齿廓偏差数列，就可以和相对应的展开长度数列 来进行齿廓偏差的评值，这种评值算法是和“法线极坐标法”测量齿廓偏差的评值算法完全相同，不需要再作任何取舍排列的处理。
3. 注意事项
3.1  主机的y轴几何精度要高，否则会直接带来测量误差。
3.2  测针球工作部位的圆度要精确，以免造成测量误差，如有磨损而造成不圆度过大，应及时更换。
3.3  在数据处理计算过程中，一定要对所有数值的正负符号特别仔细核对，以免造成失误。
参考文献
1. 张兆龙，曾勇，傅瑛 极坐标法测量齿形的精度分析. 工具技术，1997 31（7）：34~37
2. 石照耀，叶勇 广义极坐标法测量渐开线轮廓误差的研究 仪器仪表学报 2001年4月 第22卷第2期